wilson定理（探讨威尔逊定理）

最佳答案探讨威尔逊定理 背景： 威尔逊定理是数学中的一条重要定理，也是素数研究中的一条经典结论。它是18世纪英国数学家威尔逊所得出的结论，该定理表述为：对于任意一个大于1的自然数n，若...

探讨威尔逊定理

背景：

威尔逊定理是数学中的一条重要定理，也是素数研究中的一条经典结论。它是18世纪英国数学家威尔逊所得出的结论，该定理表述为：对于任意一个大于1的自然数n，若n是质数，则(n-1)! ≡ -1 (mod n)，反之，若(n-1)! ≡ -1 (mod n)成立，则n是质数。

证明：

在这里，我们简要介绍一下威尔逊定理的证明过程。首先，我们考虑将1,2,3,…,n-1这些数分为n-1个数列，每个数列中的数都与n互斥。这些数列可以分为两类，即除却1和n-1这两个不同余类所分出来的所有数列，以及包括1或者n-1这两个不同余类所分出来的所有数列。 对于第一类数列，我们将每个数列内的所有数乘起来，显然它们在模n意义下的乘积为1。而对于第二类数列，每一个数列内包括1或者n-1这两个不同余类，因此每个数列内所有数乘起来都与-1同余。 由此，我们得到了一个由n-1个数乘积构成的同余式。每个数乘积要么等于1，要么等于-1，因此它们的积(mod n)等于1乘-1乘1乘-1…，这个式子中也恰好有(n-1)个数，因此我们得证(n-1)! ≡ -1 (mod n)。

应用：

威尔逊定理本身无法直接用来计算素数，但它却是产生新的素数的强有力工具。因为根据威尔逊定理，要判断一个大数是否为素数，只需要验证(n-1)! ≡ -1 (mod n)是否成立即可，这大大减少了素数测试的计算量。 当时代进步到20世纪，大型计算机的出现为素数的计算与应用提供了极大的便利。威尔逊定理的应用也被深入发掘，并产生了许多重要的结果和算法。 总之，威尔逊定理是数学中一条经典的理论，对素数的研究和应用有着非常重要的意义。